Mathe-LK · ML1 · Analysis

Produktregel und Kettenregel

Warum gilt (u · v)′ = u′ · v + u · v′ und nicht einfach u′ · v′? Ein Produkt ist die Fläche eines Rechtecks: Wachsen beide Seiten, kommen zwei Streifen und ein winziges Eckstück hinzu. Und warum „äußere mal innere Ableitung“? Ändert sich v doppelt so schnell wie x und u dreimal so schnell wie v, dann ändert sich u sechsmal so schnell wie x: Die Raten multiplizieren sich.

So gehst du vor

1Wähle die Regel. Bei der Produktregel: Wähle die Seiten und ziehe die rote Ecke des Rechtecks oder lass es wachsen.
2Halbiere h mehrmals und beobachte, wie die Streifen schmal werden und das graue Eckstück verschwindet. Die Tabelle zeigt, was nach dem Teilen durch h bleibt.
3Bei der Kettenregel: Ziehe x auf der obersten Geraden. Vergleiche, wie schnell die Punkte auf den drei Geraden laufen.
4Lies die beiden Faktoren ab und multipliziere sie. Prüfe das Ergebnis an der Rechnung.

Regel

Rechteck mit den Seiten u(x) und v(x)

Fläche u · vStreifen Δu · vStreifen u · ΔvEckstück Δu · Δv

Gestrichelt der Weg der Ecke, wenn x wächst. Ziehe die rote Ecke, um x zu ändern, und die graue, um h zu ändern.

Tabelle: Was bleibt für h → 0?

Noch leer: Tippe „h halbieren“.

Seite u(x)

Seite v(x)

Stelle x

2,00

Schritt h

0,5000

Zuwachs der Fläche

u = 2, v = 3, Δu = 0,5, Δv = 0,5

1,5 + 1 + 0,25 = 2,75

durch h geteilt: 5,5

davon Eckstück: 0,5

Produktregel

f′(x) = u′ · v + u · v′

1 · 3 + 2 · 1 = 5

Falsch wäre u′ · v′ = 1

Merksatz: Bei Produkten addieren sich die Beiträge der beiden Seiten, bei Verkettungen multiplizieren sich die Raten.

Aufträge

Produktregel mit u(x) = x, v(x) = x + 1, x = 2, h = 0,5: Berechne die Flächen der beiden Streifen und des Eckstücks von Hand. Wie groß ist der Differenzenquotient, wie groß f′(2)?
Halbiere h in diesem Beispiel fünfmal. Welche Zahlenfolge steht in der Spalte „Eckstück : h“? Warum spielt das Eckstück beim Grenzübergang keine Rolle?
Wo im Bild steckt die falsche Regel u′ · v′?
Kettenregel mit f(x) = 6x: Um welche Faktoren strecken die Maschinen? Wie zeigt sich das an den Längen der dicken Stücke?
Wähle f(x) = sin(x²) und x = 1. Bestimme die beiden Faktoren und f′(1). Was ändert sich am äußeren Faktor, wenn x wächst?
Wähle f(x) = e^−x² und ziehe x durch 0. Was geschieht mit dem Punkt auf der mittleren Geraden, und welche Steigung hat der Graph dort?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Ableitungsregeln“.