Mathe-LK · ML1 · Analysis

Asymptoten und gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Quotienten. Wo der Nenner null wird, ist die Funktion nicht definiert, und der Graph schießt meist nach oben oder unten weg (Polstelle, senkrechte Asymptote). Weit außen nähert er sich oft einer waagrechten Geraden. Hier ziehst du die Nullstellen von Zähler und Nenner selbst.

So gehst du vor

1Wähle ein Beispiel oder den Grad von Zähler und Nenner.
2Ziehe die grünen Punkte auf der x-Achse (Nullstellen des Zählers) und die blauen Griffe oben (Nullstellen des Nenners). Beobachte den Graphen.
3Ziehe einen grünen Punkt genau unter einen blauen Griff: Was wird aus der Polstelle?
4Bringe P durch Ziehen oder am Regler weit nach außen und nah an eine Polstelle und lies den Abstand zur Asymptote ab. Rechne selbst, dann „Grenzverhalten zeigen“.

Graph

Graph von fsenkrechte Asymptotewaagrechte Asymptote

Beispiel

Grad des Zählers

Grad des Nenners

Faktor c

2,00

Stelle von P

5,50

Funktionsterm

f(x) = 2 · (x + 0,5)(x − 3)

D = ℝ \ {3}

Stellen, an denen der Nenner null wird

x = 3: Polstelle mit Vorzeichenwechsel
links f(x) → −∞, rechts f(x) → +∞

Verhalten weit außen

Waagrechte Asymptote y = 2
Gleicher Grad: Quotient der höchsten Koeffizienten.

P(5,5 | 4,8)
Abstand zur Asymptote: 2,8

Aufträge

Beispiel f(x) = 2x + 1x − 3: Wo liegt die Polstelle, wie lautet die waagrechte Asymptote? Teile Zähler und Nenner durch x, um sie zu begründen.
Vergleiche die Polstellen von 1x und 1 − 1x². Woran liegt der Unterschied?
Beispiel mit Lücke: Wo hat der Graph ein Loch und wo eine Polstelle? Ziehe dann die grüne Nullstelle von 1 weg. Was geschieht?
Stelle Zählergrad 0, 1 und 2 bei Nennergrad 2 ein. Formuliere eine Regel für die waagrechte Asymptote.
Lies in der Tabelle ab, wie schnell sich x − 1(x + 2)(x − 2) der Asymptote nähert. Was bedeutet das für x = 10000?
Zusatz Beispiel mit schräger Asymptote: Bestimme ihre Gleichung durch Polynomdivision von x² − 3x + 2 durch x + 1.

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Gebrochenrationale Funktionen“ und „Grenzverhalten und Asymptoten“.