Spiele und Rätsel

ballistæ

In ballistæ stehen sich zwei Wurfmaschinen gegenüber: das Eulen-Lager und das Katzen-Lager der Römerin minærva. Wer dran ist, stellt den Abwurfwinkel ein und spannt seine Maschine, dann fliegt der Stein auf einer echten Wurfparabel, bis du Wind oder Luftwiderstand dazuschaltest. Neben dem Katapult, an dem du das Tempo direkt einstellst, gibt es den Tribok mit Gegengewicht, den Onager mit verdrillten Seilen und die Balliste, eine Riesenarmbrust. Bei ihnen folgt das Tempo aus der Energie, die beim Spannen gespeichert wird. Jeder Einschlag reißt einen Krater ins Gelände, die Deckung schwindet also von Wurf zu Wurf.

So gehst du vor

1Wähle die Spielart. Der Feldzug führt dich durch 8 Schlachten mit steigender Schwierigkeit. Gegen den Rechner und zu zweit am selben iPad stellst du Schauplatz, Gelände, Wind und Luftwiderstand selbst ein.
2Wähle deine Wurfmaschine. Das Katapult wirft genau so, wie du es einstellst. Der Tribok wirft schwere Steine mit großem Einschlag, aber nur steil und etwas ungenau. Der Onager liegt dazwischen, seine Seile streuen. Die Balliste schießt flach, schnell und genau, ihr Bolzen schadet aber nur in kleinem Umkreis. Rechts steht, wie die Maschine ihr Tempo bekommt. Im Feldzug wählst du deine Maschine, die des Gegners steht fest.
3Zieh mit dem Finger irgendwo auf dem Feld: Die Spitze des Pfeils an deiner Maschine wandert mit. Seine Richtung ist der Abwurfwinkel, seine Länge das Anfangstempo. Fein stellst du unter dem Feld nach: den Winkel und je nach Maschine Tempo, Gegengewicht, Spannwinkel oder Spannweg.
4Drücke „Wurf!“. Schlägt das Geschoss nahe genug bei einem Lager ein, beim Katapult höchstens 28 m daneben, verliert es Lebenspunkte, je näher, desto mehr. Ein Volltreffer kostet beim Katapult 40. Das gilt auch für dein eigenes Lager: Wirf also nicht senkrecht nach oben.
5Nach dem Wurf stehen Wurfweite, Steighöhe und Flugzeit auf dem Feld und rechts ausführlicher. Korrigiere danach deinen Wurf. Die Spur zeigt dir, wo das letzte Geschoss geflogen ist. Die Punkte darauf liegen 0,25 s auseinander.
6Wind wechselt nach jedem Wurf, Pfeil und Fahnen zeigen ihn an. Auf dem Mond gibt es keine Luft, also weder Wind noch Reibung. Auf dem Mars ist die Luft sehr dünn.
7Zu leicht? Unter „Hilfen“ schaltest du Spur, Scheitel und Weite und die Komponenten von v₀ einzeln ab. Ohne die Komponenten zeigt der Pfeil nur noch die Richtung. Dein Gerät merkt sich die Wahl.
8Für einen Sieg bekommst du deine übrigen Lebenspunkte und je 10 Punkte für jeden Wurf unter 12. Dein Rekord bleibt nur auf deinem Gerät. An der Tastatur stellen die Pfeiltasten Winkel und Spannung, mit Umschalt in großen Schritten, die Leertaste wirft, P hält an. Das Spiel hält von selbst an, wenn du die Seite verlässt.

Schlacht 1 von 8Punkte 0Runde 1Deine Würfe 0g 9,81 m · s⁻²Rekord 0

Winkel α

45,0 °

Tempo v₀

40,0 m · s⁻¹

Spielart

Deine Wurfmaschine

Katapult des Eulen-Lagers

Das Lehrmodell: Du stellst das Anfangstempo v₀ direkt ein, und es wirft genau so, wie du es einstellst. Stein 2 kg, Abwurf 12 m über dem Boden, jeder Winkel von 0° bis 90°, Einschlag 28 m.

Jetzt: v₀ = 40,0 m · s⁻¹. Bewegungsenergie beim Abwurf 1,60 kJ.

Hilfen

Letzter Wurf

Hier stehen im Flug die Zeit, die Komponenten von v und die Energie, danach Wurfweite, Steighöhe und Flugzeit.

Vereinfachungen: Das Geschoss ist ein Massenpunkt ohne Drall, g ist überall gleich, der Boden ist nicht gekrümmt. Wind ist eine feste waagerechte Beschleunigung, die Reibung rechnet gegen ruhende Luft. In Wirklichkeit hinge die Windkraft vom Tempo des Geschosses gegenüber der Luft ab. Die Reibung ist Newton-Reibung, für den Stein des Katapults mit 2,0 kg, 6,0 cm Radius der Stirnfläche und c_W = 0,47, also k : m ≈ 0,00159 m⁻¹ auf der Erde und mit der Luftdichte des Mars dort rund ein Sechzigstel davon. Steine haben die Dichte von Granit. Die Maschinen geben einen festen Anteil η der gespeicherten Energie ab, Feder und Seilbündel sind streng linear. Maschinen, Figuren und Krater sind stark übertrieben groß gezeichnet, der Abwurfpunkt liegt 12 m über dem Boden. Streuung, Schaden und Kratergröße sind Spielregeln. Die Flugzeit läuft im Zeitraffer, die Anzeige nennt immer die echte Zeit.

Aufträge

Berechne für die Erde die Weite auf Abwurfhöhe, die Steighöhe und die Flugzeit bis zur Abwurfhöhe bei α = 30° und v₀ = 40 m · s⁻¹. Prüfe mit einem Wurf. Warum zeigt das Spiel als Wurfweite mehr?
Die 45°-Frage: Begründe mit der Formel für die Weite, bei welchem Winkel sie auf gleicher Höhe am größten ist. Berechne sie für v₀ = 45 m · s⁻¹ und vergleiche mit 40° und 50°. Probiere dann im Spiel aus, ob auf der Ebene bis zum Boden 45° oder 43° weiter trägt.
Zwei Winkel, gleiche Weite: Zeige, dass α und 90° − α auf gleicher Höhe gleich weit tragen. Berechne für v₀ = 50 m · s⁻¹ die Weite, die Steighöhen und die Flugzeiten von 30° und 60°. Wann nimmst du im Spiel welchen Winkel?
Du willst das gegnerische Lager treffen, beide stehen gleich hoch. Welches v₀ brauchst du bei 45°, welches bei 60°? Stelle die Werte ein und wirf.
Mond gegen Erde: Wie viel weiter trägt derselbe Wurf auf dem Mond (g = 1,62 m · s⁻²)? Rechne für 45° und 20 m · s⁻¹. Welches Tempo brauchst du auf dem Mond für eine Bahn gleicher Form wie auf der Erde mit 50,5 m · s⁻¹, und wie lange fliegt der Stein dann?
Einfluss der Höhendifferenz: Das Ziel liegt 260 m entfernt, aber 30 m über deinem Abwurfpunkt. Welches Tempo brauchst du bei 45°, welches, wenn es 30 m tiefer liegt? Nutze h(x) = x · tan(α) − g · x²2v₀² · cos²(α). Das Gelände Stufe zeigt dir den Unterschied im Spiel.
Energie: Ein Stein verlässt das Katapult mit 40 m · s⁻¹ unter 60°. Berechne mit der Masse 2 kg die Energie beim Abwurf, das Tempo im Scheitel und den Anteil der Bewegungsenergie dort. Wie schnell schlägt er auf der Ebene auf? Beobachte im Flug die Anzeige der Energie.
Wind: Schalte Wind ein. Bei a_W = 1,0 m · s⁻² gegen die Wurfrichtung wirfst du unter 45° mit 50 m · s⁻¹. Um wie viel verkürzt sich die Weite auf Abwurfhöhe? Warum trifft der Wind steile Würfe stärker? Prüfe dein Verfahren im Spiel mit dem gerade angezeigten Wind.
Luftwiderstand: Mit k : m ≈ 0,0016 m⁻¹ ist die Bremsbeschleunigung a = km · v². Wie groß ist sie bei 50 m · s⁻¹, und wie groß ist das Grenztempo, bei dem sie g ausgleicht? Suche auf der Ebene mit Luftwiderstand für 50 m · s⁻¹ durch Probieren den besten Winkel. Warum liegt er unter 45°?
Tribok: Ein Gegengewicht M fällt um H = 5 m, der Stein mit m = 20 kg bekommt den Anteil η = 0,65 davon. Welches M brauchst du auf der Erde, damit er bei 45° auf Abwurfhöhe 260 m weit fliegt? Wie viel Energie gibt das Gegengewicht dabei ab? Zeige, dass du auf dem Mond dasselbe M brauchst. Wie schnell und wie lange fliegt der Stein dort?
Onager: Begründe mit der Energie, dass v₀ proportional zum Spannwinkel φ wächst. Um welchen Faktor wächst die Weite, wenn du φ von 40° auf 80° verdoppelst? Berechne mit κ = 20 000 N · m, η = 0,35 und m = 5 kg das Tempo bei 80° und die Weite auf Abwurfhöhe unter 45°.
Balliste: Sie soll das Lager in 260 m flach unter 10° treffen, die Höhen seien gleich. Welches v₀ und welcher Spannweg s sind nötig (D = 10 000 N · m⁻¹, η = 0,50, m = 0,5 kg)? Welche Kraft hält die Sehne dann? Vergleiche die Flugzeit mit einem 45°-Wurf auf dieselbe Weite. Warum treibt Wind den Bolzen kaum ab?
Schwere Steine, dünne Luft: Berechne k : m = c_W · ρ · π r²2m für den Stein des Katapults (2 kg, 6,0 cm Radius) und den des Triboks (20 kg, 12,2 cm) mit c_W = 0,47 und ρ = 1,2 kg · m⁻³. Wie groß ist jeweils die Bremsbeschleunigung bei 50 m · s⁻¹? Warum bremst die Luft den schweren Stein weniger, obwohl er größer ist?

Für alle Rechnungen gilt, wenn nichts anderes dasteht: Spielart „Zu zweit“, Gelände Ebene, Wind und Luftwiderstand aus, beide Lager mit dem Katapult. Die Lager stehen 260 m auseinander.