Mathe · Geometrie
Sinus und Kosinus am Kreis
Um den Ursprung O liegt ein Kreis mit dem Radius 1. Zum Winkel α gehört ein Punkt P auf dem Kreis. Im rechtwinkligen Dreieck unter P ist die Hypotenuse 1 lang. Deshalb ist die senkrechte Kathete genau sin(α) lang und die waagerechte genau cos(α): P(cos(α) | sin(α)). So siehst du Sinus und Kosinus als Strecken, auch für Winkel über 90°.
So gehst du vor
- 1Ziehe den Punkt P auf dem Kreis. Er rastet in 5°-Schritten ein, im Feinmodus in 1°-Schritten.
- 2Lies rechts sin(α) und cos(α) ab. Die senkrechte Strecke ist sin(α), die waagerechte cos(α).
- 3Schau nach, in welchem Quadranten P liegt und welches Vorzeichen die Werte dort haben.
- 4Unter dem Kreis entsteht beim Ziehen die Sinuskurve. Du kannst auch auf der Kurve ziehen.
- 5Wähle eine Beziehung: Pythagoras im Kreis, 180° − α oder 90° − α.
Winkel α
35 °Werte für α = 35°
P(0,819 | 0,574)
sin(α) ≈ 0,574
cos(α) ≈ 0,819
Quadrant und Vorzeichen
II
sin +, cos −
I
sin +, cos +
III
sin −, cos −
IV
sin −, cos +
P liegt im I. Quadranten.
Beziehung zeigen
Im Skript sind Sinus und Kosinus zuerst für Winkel von 0° bis 90° im rechtwinkligen Dreieck erklärt. Am Kreis geht es für jeden Winkel: P(cos(α) | sin(α)). Die Sinusfunktion folgt in M20, dort misst man Winkel im Bogenmaß (M19).
Aufträge
- Stelle α = 35° ein wie im Skript. Lies sin(α), cos(α) und die Koordinaten von P ab. Schalte auch den Tangens ein.
- Ziehe P einmal ganz herum. Wo ist sin(α) am größten, wo am kleinsten? In welchen Quadranten ist sin(α) negativ, in welchen cos(α)?
- Wähle „180° − α“ und vergleiche sin(30°) mit sin(150°) sowie cos(30°) mit cos(150°). Warum gibt es zu einem Sinuswert zwischen 0 und 1 zwei Winkel zwischen 0° und 180°?
- Für einen spitzen Winkel α ist sin(α) = 0,6. Berechne cos(α) und tan(α) ohne Taschenrechner mit sin2(α) + cos2(α) = 1. Suche den Winkel dann im Feinmodus.
Theorie: Kapitel „Trigonometrische Beziehungen“ im Skript M17 Pythagoras und Trigonometrie.