Mathe-LK · ML3 · Stochastik

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist der Mittelwert, den man bei sehr vielen Wiederholungen erwartet. Die Standardabweichung sagt, wie stark die Werte um ihn streuen. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns G = Auszahlung − Einsatz null ist.

So gehst du vor

1Wähle eine Vorlage oder stelle die Felder und Auszahlungen selbst ein. Graue Felder füllen den Rest des Rads.
2Stelle den Einsatz ein und lies ab, ob das Spiel fair ist.
3Rechne die Tabelle unten selbst nach.
4Drehe das Rad einmal, dann 100-mal oder 10 000-mal, und verfolge, wohin der Mittelwert läuft.

Vorlagen

Felder des Rads

Rot1 Feld10 €

Blau0 Felder0 €

Gelb0 Felder0 €

Grau5 Felder0 €

Einsatz

2,00 €

Erwartungswert E(G)

−0,33 €

Standardabweichung

3,73 €

Das Spiel ist nicht fair: Auf lange Sicht verlierst du pro Spiel etwa 0,33 €. Fair wäre ein Einsatz von 1,67 €.

Verteilung des Gewinns G

Blaue Balken: Wahrscheinlichkeiten. Rot gestrichelt: μ, der Schwerpunkt der Balken. Grüner Bereich: μ ± σ, die typische Streuung.

Die Rechnung

g_i in €	P(G = g_i)	g_i · P	(g_i − μ)² · P
−2	56	−1,667	2,315
8	16	1,333	11,574
Summe	1	μ ≈ −0,333	V ≈ 13,889

σ = √V ≈ 3,727 €

Mittelwert der Gewinne

Blau: Mittelwert der ersten n Gewinne. Rot gestrichelt: μ. Noch nicht gedreht.

Aufträge

Vorlage „Sechs gewinnt“: Berechne E(G) von Hand. Welche Auszahlung macht das Spiel bei 2 € Einsatz fair?
Vergleiche die Vorlagen „Immer 2 €“, „Halbe, halbe“ und „Ein großer Treffer“. Was haben sie gemeinsam, was unterscheidet sie? Welches Spiel würdest du wählen, wenn du nur einmal spielen darfst?
Erhöhe den Einsatz um 1 €. Was passiert mit μ, was mit σ? Erkläre es am Diagramm.
Setze den Einsatz auf 0 € und tippe auf „Alle Auszahlungen verdoppeln“. Wie ändern sich μ, V und σ?
Drehe bei „Ein großer Treffer“ und bei „Halbe, halbe“ je 100-mal, immer wieder neu. Bei welchem Spiel springt der Mittelwert stärker, und warum?

Theorie: Stochastik-Skript, Abschnitt „Erwartungswert und Varianz“.