Mathe-LK · ML1 · Analysis

Exponential- und Logarithmusfunktion

Bei f(x) = a^x wird pro Schritt in x mit demselben Faktor a multipliziert. Der Logarithmus zur Basis a macht das rückgängig, sein Graph ist das Spiegelbild an der Geraden y = x. Unter allen Basen ist e = 2,71828… die natürliche Wahl: Nur dort hat die Tangente in (0 | 1) die Steigung 1, und die Ableitung ist die Funktion selbst.

So gehst du vor

1Ziehe die Basis a mit dem Regler oder unten im Graphen. Was geschieht für a < 1, was bei a = 1?
2Ziehe den Punkt P auf dem roten Graphen. Sein Spiegelpunkt Q liegt auf dem blauen Graphen: x und y tauschen die Rollen.
3Schau auf die grüne Tangente in (0 | 1): Stelle a so ein, dass sie auf der grauen Vergleichsgeraden mit Steigung 1 liegt.
4Fange die Basis mit „Intervall halbieren“ ein: Sie liegt zwischen 2 und 3.

Exponentialfunktion und ihr Spiegelbild

f(x) = a^xLogarithmus zur Basis ay = xTangente in (0 | 1)Vergleichsgerade mit Steigung 1

Steigung in (0 | 1) in Abhängigkeit von der Basis

Jeder Basis a gehört eine Steigung m in (0 | 1). Gestrichelt die Höhe m = 1. Der grüne Graph ist selbst ein alter Bekannter: m = ln(a).

Basis a

2,000

Eigenschaften

f(x) = 2^x, streng monoton wachsend

D = ℝ, Werte nur positiv, Asymptote y = 0

Logarithmus: nur für x > 0, Nullstelle x = 1, Asymptote x = 0

P(1 | 2)
Q(2 | 1)

Steigung

in (0 | 1): m = 0,6931

Differenzenquotient a^h − 1h:

h = 0,1: 0,71773

h = 0,01: 0,69556

h = 0,001: 0,69339

in P: f′(1) = 1,386
Steigung : Funktionswert = 0,6931

Das Verhältnis hängt nicht von P ab: f′(x) = f′(0) · a^x.

Die Basis mit Steigung 1 einfangen

Start: Für a = 2 ist die Steigung kleiner als 1, für a = 3 größer.

Aufträge

Stelle a = 2 ein und ziehe P auf x = 3. Welche Koordinaten hat Q? Was bedeutet das für den Logarithmus?
Vergleiche die Graphen für a = 2 und a = 0,5. Wie gehen sie auseinander hervor? Durch welchen Punkt laufen alle Graphen von a^x, durch welchen alle Logarithmen?
Lies für a = 2 und a = 3 die Steigung in (0 | 1) ab. Warum muss die gesuchte Basis dazwischen liegen?
Halbiere das Intervall zehnmal. Wie genau kennst du e danach? Vergleiche mit (1 + 1n)ⁿ für n = 1000.
Ziehe bei a = 2 den Punkt P. Warum bleibt „Steigung : Funktionswert“ immer gleich? Welchen Wert hat das Verhältnis bei a = e?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Exponential- und Logarithmusfunktion“ und „Ableitungsregeln“.