Mathe-LK · ML1 · Analysis

Extremwertprobleme

Eine Größe soll möglichst groß werden: das Volumen einer Schachtel, die Fläche einer Weide. Die Schwierigkeit liegt im Aufstellen der Zielfunktion: Die Größe hängt zunächst von zwei Variablen ab, die über eine Nebenbedingung verknüpft sind. Ersetzt man eine davon, bleibt eine Funktion einer Variablen, die man wie gewohnt untersucht. Die Randwerte gehören immer dazu.

So gehst du vor

1Wähle ein Problem und stelle die Maße ein. Bei der Schachtel: Falte das Blatt zusammen und wieder auf.
2Verändere x: im Bild, am Regler oder durch Ziehen auf dem Graphen der Zielfunktion. Schätze, wo das Maximum liegt.
3Schau auf die grüne Tangente: Sie zeigt, ob der Wert noch steigt. Im Maximum liegt sie waagrecht.
4Rechne das Maximum aus, dann „Rechnung zeigen“. Prüfe auch, was an den Rändern des Definitionsbereichs geschieht.

Schachtel aus einem quadratischen Blatt

Graue Quadrate werden ausgeschnitten, die Ränder hochgebogen. Die Maßzahl ist die Seite a − 2x des Bodens.

Zielfunktion V(x)

Problem

Blattseite a

12 cm

Faltwinkel

70 °

Ecke x

1,50 cm

Das Modell

Hauptbedingung
V = b² · x (Boden mal Höhe)

Nebenbedingung
b = a − 2x = 9

Zielfunktion
V(x) = (12 − 2x)² · x
mit 0 < x < 6

Aktuell
V(1,5) = 121,5 cm³
V′(1,5) = 27

Aufträge

Schachtel mit a = 12 cm: Suche das größte Volumen durch Probieren. Wie hoch ist die Schachtel dann? Rechne mit V′(x) = 0 nach.
Verdopple die Blattseite auf a = 24 cm. Wie ändern sich die beste Höhe und das größte Volumen? Begründe.
Aus technischen Gründen dürfen die Ränder der Schachtel mit a = 12 cm höchstens 1 cm hoch sein. Wo liegt jetzt das Maximum? Warum findet V′(x) = 0 es nicht?
Zaun mit L = 40 m: Bestimme die größte Fläche. Wie groß wäre sie, wenn alle drei Seiten gleich lang wären?
Rechteck unter f(x) = 4 − x²: Bestimme u und die Fläche. Ist das Rechteck ein Quadrat?
Schalte den Graphen der Ableitung zu. Woran erkennt man dort, dass bei x = 2 ein Maximum liegt und kein Minimum?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Extremwertprobleme“.