Mathe-LK · ML1 · Analysis
Funktionsterm aus Eigenschaften
Bei einer Steckbriefaufgabe ist nicht die Funktion gegeben, sondern Eigenschaften ihres Graphen. Jede Eigenschaft liefert eine Gleichung für die unbekannten Koeffizienten: ein Punkt eine, ein Extrempunkt zwei. Man braucht so viele Gleichungen wie Unbekannte; Symmetrie spart dabei Koeffizienten. Hier siehst du das Gleichungssystem wachsen und die Kurve einrasten.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Vorlage oder den Grad und die Symmetrie des Ansatzes. Beobachte, wie viele Unbekannte der Ansatz hat.
- 2Füge Eigenschaften hinzu. Solange Gleichungen fehlen, siehst du graue Kurven: Viele Funktionen passen noch.
- 3Ziehe die Punkte im Graphen. Die Gleichungen und die Kurve passen sich an.
- 4Lies die Probe: Ist der geforderte Extrempunkt wirklich einer? f′(p) = 0 ist nur notwendig.
Graph
eindeutige Lösungnoch möglichPunktExtrempunktWendepunkt
Lineares Gleichungssystem
| f(1) = 2 | a + b = 2 |
| f′(1) = 0 | 3a + b = 0 |
Vorlage
Grad des Ansatzes
Symmetrie
Ansatz
f(x) = ax3 + bx
2 Unbekannte, 2 Gleichungen
Eigenschaft hinzufügen
Extrempunkt (1 | 2)
Ergebnis
f(x) = −x3 + 3x
a = −1, b = 3
Probe
x = 1: f′(1) = 0, f″(1) = (−6), also Hochpunkt
Aufträge
- Vorlage „Grad 3, Hochpunkt“: Stelle die beiden Gleichungen von Hand auf und löse sie. Warum genügt ein Punkt, obwohl ein Polynom vom Grad 3 vier Koeffizienten hat?
- Vorlage „Parabel durch drei Punkte“: Löse das Gleichungssystem von Hand. Ziehe dann den Punkt (2 | 3) auf (2 | 1). Was fällt am Term auf?
- Lege bei Grad 2 zwei Punkte mit gleichem x, aber verschiedenem y an. Was meldet die Seite, und warum kann das nie gehen?
- Grad 3, keine Symmetrie: Setze einen Extrempunkt und einen Wendepunkt in denselben Punkt (0 | 0) und dazu den Punkt (1 | 2). Welche Funktion entsteht? Was sagt die Probe?
- Grad 2: Fordere zwei verschiedene Extremstellen. Was geschieht? Erkläre es am Term von f′.
Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Funktionsterm aus Eigenschaften“; Gaußverfahren in M2, Kapitel „Lineare Gleichungssysteme“.