Mathe-LK · ML1 · Analysis

Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Das Verhalten eines Polynoms weit außen bestimmt allein der Summand mit der höchsten Potenz, das Verhalten in der Mitte bestimmen die Nullstellen. An einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse, an einer doppelten berührt er sie. Und an den Exponenten liest man Symmetrie ab: nur gerade heißt achsensymmetrisch zur y-Achse, nur ungerade heißt punktsymmetrisch zum Ursprung.

So gehst du vor

1Ziehe die Nullstellen auf der x-Achse und ändere ihre Vielfachheit. Wie verläuft der Graph an der Nullstelle?
2Ziehe zwei Nullstellen aufeinander: Die Vielfachheiten addieren sich.
3Vergrößere „Von weitem ansehen“ und schalte den höchsten Summanden zu: Am Ende ist kaum noch ein Unterschied zu sehen.
4Wechsle zu den Koeffizienten. Schalte die Spiegelbilder zu: Deckt ein Spiegelbild den Graphen ganz ab, ist er symmetrisch.

Graph

Graph von f

Ich ziehe

Faktor a

0,5

x = −2

x = 1

Von weitem ansehen (Maßstab)

1 fach

Term

f(x) = 0,5 · (x + 2) · (x − 1)²

= 0,5x³ − 1,5x + 1

Blau gerade, grün ungerade Exponenten.

Grad und Verhalten

Grad 3: höchstens 3 Nullstellen, höchstens 2 Extremstellen

Von links unten nach rechts oben:

x → −∞: f(x) → −∞
x → +∞: f(x) → +∞

Symmetrie

Exponenten: 3, 1, 0 (die Konstante zählt als x⁰)

Gemischte Exponenten, also weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung. Zusatz Dafür punktsymmetrisch zu (0 | 1), grauer Punkt im Bild.

Aufträge

Start: f(x) = 0,5 · (x + 2) · (x − 1)². An welcher Nullstelle wechselt f das Vorzeichen, an welcher nicht? Wie verläuft der Graph außen?
Stelle bei einer Nullstelle „dreifach“ ein. Wie sieht der Graph dort aus? Formuliere eine Regel für gerade und ungerade Vielfachheit.
Ändere das Vorzeichen des Faktors a. Was geschieht mit dem Graphen und dem Verhalten außen?
Schalte den höchsten Summanden zu und stelle das 30-Fache ein. Was ist aus den Nullstellen geworden? Begründe, warum der Graph fast mit dem von a · xⁿ zusammenfällt.
Wähle die Beispiele x⁴ − 2x², x³ − 3x und x³ + 1. Schalte beide Spiegelbilder zu. Welches deckt jeweils den Graphen ab?
f(x) = x² − 4x + 1: Prüfe von Hand, dass der Graph symmetrisch zu x = 2 ist.
Lege die Nullstellen so, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Wie müssen sie liegen? Geht das auch mit vier einfachen Nullstellen?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitte „Ganzrationale Funktionen“ und „Symmetrie“.