Mathe-LK · ML3 · Stochastik

Kombinatorik

Kombinatorik ist geschicktes Zählen. Zwei Fragen entscheiden über die Formel: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Darf ein Element mehrfach vorkommen? Für jeden Platz zählt man die Möglichkeiten und multipliziert.

So gehst du vor

1„Pascalsches Dreieck“: Tippe ein Feld an und sieh, aus welchen Zahlen es entsteht.
2„Urne und Plätze“: Stelle n und k ein, ziehe Kugel für Kugel und vergleiche die vier Fälle.
3„Treffer ohne Zurücklegen“: Vergleiche die Zählformel mit der Binomialverteilung und rechne eine Lotto-Wahrscheinlichkeit nach.
4„Zählstrategien“: Ordne jeder Situation das passende Modell zu.

Teil

Tippe ein Feld an. Zeile n beginnt oben mit 0, in jeder Zeile zählt k von links ab 0. Rot: das gewählte Feld. Blau: die beiden Felder darüber. Grün umrandet: das Spiegelfeld in derselben Zeile.

Zeile n

Stelle k

(nk) = n!k! · (n − k)! = 5!2! · 3! = 1202 · 6 = 10

Summenregel: (52) = (41) + (42) = 4 + 6 = 10

Symmetrie: (52) = (53) = 10

(a + b)⁵ =a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+ b⁵

Aufträge

Addiere die Zahlen der Zeilen 0 bis 5 im Pascalschen Dreieck. Welches Muster zeigt sich? Begründe es mit (a + b)ⁿ für a = b = 1.
Färbe im Dreieck die ungeraden Zahlen. Warum ist ein Feld genau dann weiß, wenn die beiden Felder darüber beide gerade oder beide ungerade sind?
Urne mit 5 Kugeln, 3 Züge ohne Zurücklegen: Wie viele Ergebnisse gibt es geordnet, wie viele ungeordnet? Warum unterscheiden sie sich genau um den Faktor 6?
Lotto: Berechne P(X = 3) mit der Formel und kontrolliere mit dem Regler. Wie viele Tipps muss man im Mittel abgeben, um einmal genau drei Richtige zu haben?
Stelle N = 49, M = 20 und n = 3 ein, danach N = 10, M = 4 und n = 3. In beiden Fällen ist p ungefähr 0,4. Wann liegen die schwarzen Striche näher an den Balken, und warum?

Theorie: Stochastik-Skript, Kapitel „Kombinatorik“.