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Mathe-LK · ML2 · Geometrie

Kugeln und Körper

Eine Kugel besteht aus allen Punkten mit dem Abstand r vom Mittelpunkt M. Ob eine Ebene sie trifft, entscheidet allein ihr Abstand d von M. Das Volumen einer Pyramide hängt nur von der Grundfläche und der Höhe ab.

So gehst du vor

  1. 1„Kugel und Ebene“: Ziehe M oder ändere r und die Ebene. Die Rechnung läuft mit.
  2. 2Ziehe im Schnittbild den Punkt E und beobachte, wie der Schnittkreis wächst und schrumpft.
  3. 3„Pyramide“: Ziehe die Spitze S waagerecht und senkrecht und vergleiche das Volumen.
  4. 4„Warum ein Drittel?“: Schiebe die drei Pyramiden zusammen und auseinander.

Teil

−3−2−1123456789−3−2−1123456789x2x3EρrdMF
Ansicht:
Punkte ziehen:

Ein Finger auf freier Fläche dreht die Ansicht, zwei Finger zoomen. Punkte ziehst du in der gewählten Richtung; die gestrichelten Linien beim Ziehen zeigen den Weg vom Ursprung zum Punkt. Gestrichelt und blass: verdeckt (hinter der Ebene). Das Schrägbild zeichnet wie das Skript die x1-Achse verkürzt; beim Drehen wird senkrecht projiziert.

Koordinaten

M(3 | 3 | 3)
x1 = 3
x2 = 3
x3 = 3

Radius r

5,0

n1

2

n2

1

n3

2

rechte Seite c der Ebenengleichung

6,0

Schnitt durch den Mittelpunkt

rρdME

Ziehe den blauen Punkt E: Die Ebene wandert parallel. Rot: Schnittkreis von der Seite, grün: Abstand d. Die drei Strecken bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse r.

Rechnung

Kugel(x1 − 3)² + (x2 − 3)² + (x3 − 3)² = 25
EbeneE: 2x1 + x2 + 2x3 = 6
Abstandd = |n ∘ OM − 6||n| = |15 − 6|√9 = 3
d < r: Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis.
Radiusρ = √r² − d² = 4
MittelpunktF(1 | 2 | 1) (Lotfußpunkt von M)

Im Schrägbild ist die x1-Achse verkürzt, deshalb wirkt die Kugel dort verzerrt. Drehst du die Ansicht oder wählst „Blick längs der Ebene“, ist sie rund.

Aufträge

  1. Stelle M(3 | 3 | 3), r = 5 und E: 2x1 + x2 + 2x3 = 6 ein. Rechne d, ρ und F von Hand nach.
  2. Für welche Werte von c in der Gleichung 2x1 + x2 + 2x3 = c berührt die Ebene die Kugel? Prüfe mit dem Knopf „Ebene verschieben, bis sie berührt“.
  3. Wann ist der Schnittkreis am größten, und wie groß ist sein Radius dann?
  4. Quadratische Pyramide mit a = 6 und S(3 | 3 | 5): Verschiebe S nach (0 | 0 | 5). Wie ändern sich Grundfläche, Höhe und Volumen?
  5. Dreiseitige Pyramide: Wähle als Zieh-Art „parallel zur Grundebene“ und ziehe S. Warum bleibt das Volumen gleich?

Theorie: Geometrie-Skript, Kapitel „Körper, Kugeln und Bewegungen“, Abschnitte „Flächen und Volumen“ und „Kugeln“.

Üben in minærva noctua

Fragen und Aufgaben zu den passenden Abschnitten im Skript:

Kursstufe, Mathe-LK · ML2 Geometrie ↗

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Worauf das aufbaut und wohin es führt: