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Mathe · Geometrie

Pythagoras-Puzzle

In jedem rechtwinkligen Dreieck passen die Quadrate über den beiden Katheten zusammen genau in das Quadrat über der Hypotenuse: a2 + b2 = c2. Hier siehst du, warum das so ist. Und du prüfst umgekehrt mit Zahlen, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat.

So gehst du vor

  1. 1Ziehe im Reiter „Satz und Beweis“ die roten Punkte. Die Quadrate wachsen mit, die Rechnung auch.
  2. 2Zähle die Kästchen in den Quadraten. Ein Kästchen ist 1  cm2.
  3. 3Tippe auf „Dreiecke umlegen“ und schau, was im großen Quadrat frei bleibt.
  4. 4Stelle im Reiter „Kehrsatz“ drei Seitenlängen ein und lies ab: rechtwinklig, spitz oder stumpf?

Reiter

Quadrate über den Seiten

a29 cm2b216 cm2c225 cm2abcCAB

1 Kästchen = 1  cm2. Ziehe die roten Punkte A und B: Sie ändern die Katheten b und a in Schritten von 0,5 cm. Der rechte Winkel liegt bei C.

Satz des Pythagoras
a2 + b2 = 9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 = c2
c = √25 cm = 5 cm

Zerlegungsbeweis

c2bbaa

Vier gleiche Dreiecke mit den Katheten a und b liegen in den Ecken eines Quadrats mit der Seite a + b. Frei bleibt in der Mitte das Quadrat c2 = 25 cm2.

Aufträge

  1. Stelle a = 3 cm und b = 4 cm ein und zähle die Kästchen in allen drei Quadraten. Stelle dann a = 1,5 cm und b = 2 cm ein. Wie lang ist c? Rechne zuerst selbst.
  2. Lege die Dreiecke im Zerlegungsbeweis um und wieder zurück. Begründe, warum die freie Fläche vorher und nachher gleich groß sein muss.
  3. Kehrsatz: Sind die Dreiecke mit den Seiten 6, 7, 9 und 8, 9, 13 und 12, 16, 20 (in cm) rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig? Rechne zuerst, prüfe dann.
  4. Finde zwei verschiedene pythagoreische Zahlentripel mit c = 25. Tipp: Vielfache eines bekannten Tripels.

Kapitel „Satz des Pythagoras und Kehrsatz“ im Skript M17 Pythagoras und Trigonometrie.