Astronomie · AS6 · Licht aus dem All

Radialgeschwindigkeit aus dem Spektrum

Ein Stern mit einem Begleiter läuft um den gemeinsamen Schwerpunkt. Kommt er auf uns zu, sind seine Spektrallinien zum Blauen verschoben, entfernt er sich, zum Roten. Gemessen wird nur die Radialgeschwindigkeit v_r, der Teil der Geschwindigkeit längs der Sichtlinie. Aus dem Takt und der Größe der Schwankung folgen Umlaufzeit und Masse des unsichtbaren Begleiters.

So gehst du vor

1Wähle den Begleiter (Planet oder Doppelstern) und das System. Die Masse des sichtbaren Sterns ist bekannt.
2Wähle eine Spektrallinie. Setz in der Lupe das Fadenkreuz mit dem Finger genau auf die Mitte der dunklen Linie und tippe „Messwert übernehmen“.
3Lass Zeit vergehen („nächste Nacht“ oder Zeitraffer) und miss wieder. Sammle mindestens zehn Messwerte über mehrere Umläufe.
4Rechne in der Tabelle die Radialgeschwindigkeit aus: v_r = c · Δλλ₀.
5Schalte die Modellkurve ein und stell T, K, γ und t_max so ein, dass sie durch deine Punkte läuft. Dann berechne die Masse des Begleiters und löse auf.

Der Stern und sein Begleiter

Begleiter

System

51 Pegasi: Masse des sichtbaren Sterns M_S = 1,11 M_☉ (aus Spektralklasse und Leuchtkraft bekannt). Ein Planet umkreist ihn; man sieht ihn nicht.

Schwarzer Pfeil: Geschwindigkeit v des Sterns. Farbiger Pfeil: ihr Anteil v_r in Blickrichtung. Nach oben heißt: von der Erde weg (Rotverschiebung).

Messen

Zeit t

0,00 d

Fadenkreuz Δλ

0,000 pm

1 pm = 0,001 nm. Gestrichelt: Lage der Linie im Labor. Die Lupe ist stark gedehnt: Beim Planeten verschiebt sich die Linie nur um Bruchteile eines Pikometers. So genau misst ein Spektrograph nur, weil er Tausende Linien zugleich auswertet; hier steht stellvertretend eine Linie (Modell). Die Messwerte streuen leicht.

Messreihe

Nr.	t in d	Linie	Δλ in pm	v_r in ms

Noch keine Messwerte. Setz das Fadenkreuz in der Lupe und tippe „Messwert übernehmen“.

Rechne die ersten Werte selbst: v_r = c · Δλλ₀ mit c = 3,00 · 10⁸ ms. Positiv heißt: Der Stern entfernt sich.

Kurve anpassen

Modell: v_r(t) = γ + K · cos(2π · t − t_maxT). T ist die Umlaufzeit, K die größte Geschwindigkeit des Sterns relativ zum Schwerpunkt, γ die Geschwindigkeit des ganzen Systems und t_max ein Zeitpunkt größter Rotverschiebung.

Umlaufzeit T

5,00 d

Halbamplitude K

30,0 ms

Systemgeschwindigkeit γ

0,0 ms

Zeitpunkt t_max

0,00 d

Tipp: Lies zuerst grob ab. T ist der Abstand zweier Maxima, K die halbe Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert, γ der Mittelwert. Dann verschiebe t_max, bis die Kurve passt, und verfeinere.

Masse des Begleiters mit deinen Werten

Mit T = 5,00 d und K = 30,0 ms, M_S = 1,11 M_☉:

Auflösung

Erst selbst messen, Kurve anpassen und rechnen. Dann vergleichen.

Vereinfachtes Modell: Kreisbahn, nur ein Begleiter, Doppler-Effekt für v klein gegen c. Bewegung der Erde und Eigenbewegung des Sterns sind herausgerechnet (γ = 0).

Aufträge

51 Pegasi, Linie Hα. Miss die Verschiebung zur Zeit t = 0 und berechne v_r von Hand. Bewegt sich der Stern auf uns zu oder von uns weg?
Miss bei 51 Pegasi mindestens zehnmal, jeweils „nächste Nacht“, über zwei Wochen. Trag v_r über t auf und passe die Modellkurve an. Wie groß sind T und K?
Berechne mit deinen Werten den Bahnradius, die Bahngeschwindigkeit und die Mindestmasse des Planeten (M_S = 1,11 M_☉). Vergleiche mit Jupiter.
Miss zur selben Zeit einmal mit Hα und einmal mit Na D₁. Vergleiche die Verschiebungen und die daraus berechneten Geschwindigkeiten.
Im ganzen Spektrum oben sieht man keine Bewegung der Linien. Berechne Δλλ₀ für 56 ms und erkläre, warum man für Planeten Spektrographen mit einem Auflösungsvermögen um 100 000 und viele Linien braucht.
Jupiter bewegt die Sonne mit rund 12,5 ms (Umlaufzeit 11,9 Jahre), die Erde nur mit 9 cms. Prüfe den Wert für Jupiter mit M_☉ · K = M_J · v_J (M_J = 1,90 · 10²⁷ kg, v_J = 13,1 kms) und erkläre, warum eine „zweite Erde“ so schwer zu finden ist.
Doppelstern, Modell-Doppelstern (M_A = 1,0 M_☉). Bestimme T, K und γ. Was bedeutet γ? Bestimme dann die Masse des Begleiters durch Probieren.
Wähle „Planet X“. Bestimme die Mindestmasse des Planeten. Löse auf und erkläre, warum die wahre Masse größer sein kann als dein Ergebnis.

Theorie: Skript AS6 „Licht aus dem All“, Kapitel „Spektroskopie und Doppler-Effekt“; Skript AS7, Kapitel „Exoplaneten finden“; Skript AS8, Kapitel „Doppelsterne und veränderliche Sterne“. Den Doppler-Effekt beim Schall: Doppler-Effekt. Woher die Linien kommen: Linienspektren. Die zweite Methode für Exoplaneten: Transit. Das dritte Keplersche Gesetz: Kepler. Rotverschiebung ganzer Galaxien: Hubble-Diagramm.