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Mathe · Funktionen

Steigung und Steigungsdreieck

Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Wie steil sie ist, zeigt das Steigungsdreieck: Δx nach rechts, Δy nach oben. Die Steigung ist m = ΔyΔx. Wo die Gerade die y-Achse schneidet, liest du den y-Achsenabschnitt c ab. Zusammen ergibt das die Gleichung y = m x + c.

So gehst du vor

  1. 1Ziehe die Punkte P und Q. Sie rasten auf Gitterpunkten ein.
  2. 2Lies rechts ab, wie m aus den Koordinaten berechnet wird, und die Gleichung der Geraden.
  3. 3Verschiebe das orange Steigungsdreieck am Griff in der Mitte der waagerechten Seite, vergrößere es am Griff an der rechten Ecke. Beobachte m.
  4. 4Unter „Ablesen“ bekommst du eine Gerade: Lies m und c ab, trage sie ein und prüfe.
−6−5−4−3−2−1123456−5−4−3−2−112345xyΔx = 4Δy =−6cPQ

Orange das Steigungsdreieck: am Griff in der Mitte der waagerechten Seite verschieben, am Griff an der rechten Ecke vergrößern. Der schwarze Punkt ist (0 | c), dort schneidet die Gerade die y-Achse.

Was willst du tun?

Rechnung
P(−1 | 4), Q(3 | −2)
m = yQ − yPxQ − xP = −2 − 43 − (−1) = −64 = −32 = −1,5
P einsetzen: 4 = −1,5 · (−1) + c, also c = 2,5
y = −1,5x + 2,5
Steigungsdreieck: Δx = 4, Δy = −6, ΔyΔx = −64 = −1,5

Aufträge

  1. Lass P und Q fest. Verschiebe das Steigungsdreieck und mache es größer und kleiner. Was ändert sich, was bleibt gleich?
  2. Lege P auf (2 | 1) und Q auf (5 | 3). Berechne m und c zuerst selbst, dann vergleiche.
  3. Ziehe Q genau über oder unter P. Was passiert mit der Steigung? Und wenn P und Q gleich hoch liegen?
  4. Löse unter „Ablesen“ fünf Geraden. Notiere jedes Mal zuerst das Steigungsdreieck, das du benutzt hast.

Theorie: Kapitel „Lineare Funktionen y = m x + c, Steigung“ und „Gerade durch zwei Punkte, Änderungsrate“ im Skript M12 Lineare Funktionen.