Mathe · Geometrie
Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei C. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse c. Vom Winkel α aus heißt die Kathete gegenüber Gegenkathete, die Kathete am Winkel Ankathete. Ihre Verhältnisse heißen Sinus, Kosinus und Tangens. Hier siehst du, dass sie nur vom Winkel abhängen und nicht von der Größe des Dreiecks.
So gehst du vor
- 1Ziehe die Ecke B nach oben oder unten und die Ecke C nach links oder rechts. Der rechte Winkel bei C bleibt.
- 2Lies rechts ab, welche Seite Gegenkathete und welche Ankathete ist. Die Quotienten rechnen mit.
- 3Wechsle zu β: Gegenkathete und Ankathete tauschen die Rollen.
- 4Schalte „Winkel festhalten“ ein und ziehe: Das Dreieck wird größer oder kleiner, die Verhältnisse bleiben gleich.
- 5Unter „Aufgaben“ berechnest du fehlende Seiten und Winkel. Rechne zuerst selbst, dann zeig die Lösung.
Gefärbt: Gegenkathete in Rostrot, Ankathete in Orange, Hypotenuse anthrazit.
Was willst du tun?
Vom Winkel aus betrachten
Winkel α
36,9 °Vom Winkel α aus
sin(α) =GegenkatheteHypotenuse=ac=3,00 cm5,00 cm≈ 0,600
cos(α) =AnkatheteHypotenuse=bc=4,00 cm5,00 cm≈ 0,800
tan(α) =GegenkatheteAnkathete=ab=3,00 cm4,00 cm≈ 0,750
α ≈ 36,9°, β = 90° − α ≈ 53,1°
Steigung: Von A nach B steigt die Hypotenuse mit tan(α) = ab ≈ 0,750, das sind 75,0 %.
Aufträge
- Stelle a = 3 cm und b = 4 cm ein. Lies Sinus, Kosinus und Tangens von α ab. Wechsle dann zu β. Was fällt dir auf?
- Schalte „Winkel festhalten“ ein und stelle den Streckfaktor k = 2 ein. Wie ändern sich die Seiten, wie die drei Verhältnisse?
- Stelle α = 30° ein und vergleiche Gegenkathete und Hypotenuse. Suche danach den Winkel, bei dem die Steigung 100 % beträgt.
- Löse unter „Aufgaben“ mindestens je zwei Aufgaben der Art „Seite berechnen“, „Winkel berechnen“ und „Steigung“ zuerst selbst. Vergleiche dann mit dem Rechenweg.
Theorie: Kapitel „Sinus, Kosinus und Tangens“ und „Berechnungen in Dreiecken und Figuren“ im Skript M17 Pythagoras und Trigonometrie.