Mathe-LK · ML1 · Analysis

Verkettung: zwei Funktionsmaschinen

Bei einer Verkettung wird das Ergebnis einer Funktion in eine zweite eingesetzt: (u ∘ v)(x) = u(v(x)). Die innere Funktion v ist das, was man beim Berechnen zuerst ausrechnet, die äußere Funktion u kommt danach. Innen und außen zu erkennen ist die Voraussetzung für die Kettenregel.

So gehst du vor

1Wähle zwei Maschinen oder ein Beispiel und stelle die Eingabe x am Regler oder durch Ziehen auf der x-Achse ein.
2Tippe „Zahl durchschicken“ und verfolge, was zuerst und was danach gerechnet wird.
3Tippe „Reihenfolge tauschen“. Ändert sich der Term? Der blaue Graph zeigt die umgekehrte Reihenfolge.
4Suche Eingaben, bei denen eine Maschine klemmt: Dort gehört x nicht zum Definitionsbereich.

Die Maschinen

Eingabe

x = 1

innere Funktion v

v(x) = x + 1

Zwischenergebnis

z = 2

äußere Funktion u

u(z) = z²

Ausgabe

y = 4

Graphen

Verkettung u(v(x))umgekehrt v(u(x))

Beispiel

Innere Funktion, hier mit z geschrieben

Äußere Funktion u(z)

Eingabe x

1,00

Terme

u(v(x)) = (x + 1)²

u(v(1)) = 4

v(u(x)) = x² + 1

v(u(1)) = 2

Die Reihenfolge zählt: u(v(x)) und v(u(x)) sind verschiedene Funktionen.

Der Name der Variablen ist egal: v(z) = z² und v(x) = x² sind dieselbe Funktion. In der Liste steht überall z.

Aufträge

Innen v(x) = x + 1, außen u(z) = z². Berechne u(v(2)) und v(u(2)) von Hand. Prüfe mit den Maschinen.
Welche Maschinen ergeben f(x) = e^−x²? Was ist hier das Erste, was du beim Berechnen von f(1) ausrechnest? Tausche die Reihenfolge: Was entsteht?
f(x) = √(4x − 7): Für welche x klemmt die Maschine? Bestimme den Definitionsbereich von Hand und vergleiche mit dem Graphen.
h(x) = ln(x² − 1): Warum besteht der Graph aus zwei Teilen?
Verkette z² und √z in beiden Reihenfolgen. Beide heben sich doch auf, oder? Vergleiche die Graphen.
Suche zwei verschiedene Maschinen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Verkettung“.