Mathe · Daten und Zufall
Vierfeldertafel und Baum
Zwei Merkmale, vier Felder: Jede Person steht in genau einem Feld. Stell die Anteile mit den Schiebern ein. Flächenbild, Vierfeldertafel und Baumdiagramm zeigen dieselben Zahlen. Wann hängen die Merkmale nicht voneinander ab?
So gehst du vor
- 1Wähle ein Beispiel. Stell mit den Schiebern ein, wie viele I sind und wie viele davon S sind.
- 2Tippe ein Feld an (im Flächenbild, in der Tafel oder am Baum). Unten stehen seine Wahrscheinlichkeit und die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
- 3Dreh den Baum um: erst nach S, dann nach I. Auch das Flächenbild wird dann anders geteilt.
- 4Drück „unabhängig machen“ und beobachte die Trennlinie im Flächenbild.
Beispiel
Flächenbild
Umfrage unter den 160 Schülern der zehnten Klassen (Beispiel aus dem Skript). Das ganze Quadrat hat die Fläche 1.
Senkrecht geteilt nach I, jede Spalte waagerecht nach dem Anteil von S in dieser Spalte. Gestrichelt: der Anteil insgesamt.
Anteil I: spielt ein Instrument
64 von 160 = 0,4davon S: im Sportverein
32 von 64 = 0,5unter I davon S
56 von 96 ≈ 0,58stochastisch abhängig
Zahlen
Baum
Vierfeldertafel
| S im Sportverein | S kein Verein | Summe | |
|---|---|---|---|
| I spielt ein Instrument | 64 | ||
| I kein Instrument | 96 | ||
| Summe | 88 | 72 | 160 |
Anzahl der Schüler.
Häufigkeitsbaum
Feld I ∩ S
P(I ∩ S) = 32160 = 15 = 0,2
Pfad: P(I) · PI(S) = 25 · 12 = 15
PI(S) = 3264 = 12 = 0,5 (nur die Zeile I zählt)
PS(I) = 3288 = 411 ≈ 0,36 (nur die Spalte S zählt)
Unabhängig?
P(I) · P(S) = 25 · 1120 = 1150 = 0,22
P(I ∩ S) = 32160 = 15 = 0,2
Verschieden: I und S sind stochastisch abhängig.
Aufträge
- Beispiel „Instrument und Verein“: Tippe das Feld I ∩ S an und lies PI(S) und PS(I) ab. Warum sind die beiden verschieden?
- Drück im selben Beispiel „unabhängig machen“. Welche Anzahl ändert sich? Wie sieht jetzt die Trennlinie im Flächenbild aus? Prüfe P(I ∩ S) = P(I) · P(S).
- Beispiel „Schulweg und Bus“: Vergleiche PW(F) und PW(F). Dreh dann den Baum um. Wie wahrscheinlich wohnt ein Busfahrer weiter als 3 km weg?
- Beispiel „Oktaeder“: Sind „gerade Zahl“ und „höchstens 4“ unabhängig? Nimm dann statt „höchstens 4“ das Ereignis „Primzahl“ = {2, 3, 5, 7}: Stell die beiden unteren Schieber passend ein. Was ändert sich?
Theorie: Kapitel „Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit“ und „Stochastische Unabhängigkeit“ im Skript M22 Binomialverteilung. Mehr für die Oberstufe: Baumdiagramm zum Anfassen und Medizinischer Test.