Mathe-LK · ML1 · Analysis

Wachstum: linear, exponentiell, beschränkt

Welches Modell passt, erkennt man an der Änderung: Kommt pro Zeitschritt derselbe Betrag hinzu, ist das Wachstum linear. Wird pro Zeitschritt mit demselben Faktor multipliziert, ist es exponentiell. Nähert sich der Bestand einer Schranke S, ist es beschränkt. Die Ableitung B′(t) ist die Änderungsrate; an ihr sieht man, warum die Kurven so verlaufen.

So gehst du vor

1Tippe „Laufen lassen“: Die drei Bestände starten gleich. Beobachte die Balken und welche Kurve wann vorne liegt.
2Ziehe einen Punkt auf einem Graphen, um den Zeitpunkt t zu wählen. Die Tangenten zeigen die Änderungsrate, unten läuft ihr Graph mit.
3Verändere die Parameter. Welche Größe ist bei welchem Modell konstant, welche proportional wozu?
4Prüfe die Kennzeichen in der Wertetabelle: Differenzen, Quotienten und Quotienten des Abstands zur Schranke.

Bestand B(t)

linearexponentiellbeschränktSchranke S

Änderungsrate B′(t)

Grau: Die Rate bleibt gleich. Blau: Die Rate wächst mit dem Bestand. Rot: Die Rate schrumpft, je näher der Bestand der Schranke kommt.

Wertetabelle in gleichen Zeitschritten

Zeitschritt Δt

2,00

t	linear	Differenz	exponentiell	Quotient	beschränkt	Quotient von S − B
0	1		1		1
2	2	1	1,822	1,822	3,203	0,449
4	3	1	3,32	1,822	4,192	0,449
6	4	1	6,05	1,822	4,637	0,449
8	5	1	11,023	1,822	4,837	0,449
10	6	1	20,086	1,822	4,927	0,449

Beispiel

linearB = 2, B′ = 0,5

exponentiellB = 1,822, B′ = 0,547

beschränktB = 3,203, B′ = 0,719

Zeitpunkt t

2,00

Anfangswert B(0)

1,0

linear: Zunahme m

0,5

exponentiell: k

0,30

beschränkt: Schranke S

5,0

beschränkt: k

0,40

Zum Zeitpunkt t = 2

linear: derselbe Betrag
B(t) = 1 + 0,5 · t
B′(t) = 0,5

exponentiell: derselbe Faktor
B(t) = 1 · e^{0,3 · t}
B′(t) = k · B(t) = 0,3 · 1,822 = 0,547
T_D = ln(2)|0,3| ≈ 2,31

beschränkt: proportional zu S − B
B(t) = 5 − 4 · e^{−0,4 · t}
B′(t) = k · (S − B) = 0,4 · 1,797 = 0,719

Aufträge

Beispiel „Gleicher Start“ mit Δt = 2: Welche Spalte der Wertetabelle bleibt jeweils konstant? Welchen Wert hat sie, und wie folgt er aus den Parametern?
Wann überholt im selben Beispiel der exponentielle Bestand den linearen? Lies es aus dem Graphen ab und prüfe mit „Überholstellen zeigen“.
Wie groß ist die Änderungsrate des beschränkten Bestands bei t = 0 und bei t = 10? Warum erreicht er S nie?
Beispiel „Bakterien“: Lies B(3) und die Verdopplungszeit ab. Welcher Bestand folgt nach weiteren 1,5 Stunden?
Beispiel „Tee kühlt ab“: Der Bestand ist hier die Temperatur in °C, die rote Kurve das passende Modell. Welche Temperatur hat der Tee nach 10 Minuten, wann ist er bei 40 °C? Warum passt das graue Modell nicht?
Stelle bei „Gleicher Start“ k (exponentiell) auf einen kleinen positiven Wert und m möglichst groß ein. Überholt die blaue Kurve auch dann die graue? Vergrößere gedanklich das Zeitfenster und begründe mit den Änderungsraten.

Theorie: M1 Analysis, Kapitel „Wachstum“.