Mathe · Zahlen, Brüche, Prozent
Wurzeln annähern
Nur wenige Wurzeln gehen glatt auf. Für √2 zeigt der Taschenrechner 1,414213562. Hier findest du solche Ziffern selbst: mit einer Lupe auf dem Zahlenstrahl oder mit Rechtecken, die immer quadratischer werden.
So gehst du vor
- 1Wähle eine Zahl, zum Beispiel 2.
- 2Intervallschachtelung: Tippe auf „Zehntel prüfen“. Die Zehntel werden quadriert, bis das Quadrat größer als die Zahl ist.
- 3Tippe auf „Hineinzoomen“. Der Zahlenstrahl vergrößert das neue Intervall. Weiter mit den Hundertsteln.
- 4Heron-Verfahren: Tippe auf „Seiten mitteln“ und schau, wie das Rechteck zum Quadrat wird. Vergleiche die Tabelle mit dem Taschenrechner.
Reiter
Zahlenstrahl als Lupe
Hell: das Intervall, in dem √2 liegt. Punkte: die geprüften Zahlen, gefüllt mit Quadrat kleiner als 2, hohl mit Quadrat größer als 2. Dunkel: das neue, zehnmal kürzere Intervall.
Zahl unter der Wurzel
Radikand a
2| untere Grenze | obere Grenze | Quadrate |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 < 2 < 4 |
Also 1 < √2 < 2. Das folgt aus den Quadratzahlen 1 und 4.
Aufträge
- Schachtle √2 bis zu den Tausendsteln ein. Wie viele Quadrate musstest du für die Hundertstel berechnen, wie viele für die Tausendstel?
- √50 liegt zwischen 7 und 8. Liegt es näher an 7 oder an 8? Überlege zuerst und prüfe dann mit der Intervallschachtelung.
- Heron-Verfahren für √10 mit dem Startwert 3: Nach wie vielen Schritten ändern sich die sechs Nachkommastellen nicht mehr? Vergleiche mit dem Taschenrechner.
- Rechne √50 mit Heron einmal mit dem Startwert 7 und einmal mit dem Startwert 50. Wann stimmen jeweils die ersten drei Nachkommastellen (7,071)? Was lernst du daraus?
Kapitel „Wurzeln abschätzen und näherungsweise berechnen“ im Skript M13 Wurzeln und reelle Zahlen; warum die Ziffern von √2 nie enden, steht dort im Kapitel „Irrationale Zahlen, reelle Zahlen“.