Mathe-LK · ML1 · Analysis

Stetigkeit und Zwischenwertsatz

Ein Graph ohne Sprung, der unterhalb der x-Achse beginnt und oberhalb endet, muss die Achse irgendwo kreuzen. Das ist der Zwischenwertsatz: Ist f auf [a; b] stetig und haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, gibt es dazwischen mindestens eine Nullstelle. Er sagt nicht, wo sie liegt. Durch fortgesetztes Halbieren kann man sie aber beliebig genau einschachteln.

So gehst du vor

1Wähle eine Funktion und ziehe die Grenzen a und b auf der x-Achse, bis f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben.
2Tippe „Intervall halbieren“: Die Mitte wird ausgewertet, die Hälfte mit Vorzeichenwechsel bleibt. Die Balken unter dem Graphen zeigen, wie das Intervall schrumpft.
3Nimm die Sprungfunktion und vergrößere die Sprunghöhe d. Wohin läuft das Halbieren jetzt, und ist das eine Nullstelle?
4Entscheide erst selbst, ob es eine oder mehrere Nullstellen gibt. Dann „Nullstellen zeigen“ und „Monotonie prüfen“.

Graph

Blau die Grenzen und das aktuelle Intervall, grau die zuletzt getestete Mitte. Die Balken stehen an derselben Stelle wie darüber die x-Achse.

Tabelle der Halbierungen

Noch leer: „Intervall halbieren“ tippen.

Funktion

Grenze a

0,00

Grenze b

1,00

Vorzeichen an den Grenzen

f(0) = −1

f(1) = 1

Vorzeichenwechsel

Stetig auf [0; 1].

Nach 0 Halbierungen

[0; 1]

Breite: 1

Aufträge

f(x) = x³ + x − 1 auf [0; 1]: Zeige mit dem Zwischenwertsatz und der Ableitung, dass es genau eine Nullstelle gibt. Wie viele Halbierungen brauchst du für drei sichere Nachkommastellen?
Hat die Gleichung e^x = 3 − x eine Lösung? Forme um und nutze die zweite Funktion.
f(x) = x³ − 3x + 1 auf [−2,5; 2,5]: Wie viele Nullstellen gibt es? Welche findet das Halbieren? Wie erreichst du die anderen?
Sprungfunktion mit d = 1: Halbiere achtmal. Wohin läuft das Intervall? Was ist f an den Enden? Stelle dann d = 0 ein und vergleiche.
f(x) = 1x auf [−1; 2]: Das Vorzeichen wechselt. Warum gibt es trotzdem keine Nullstelle?

Theorie: M1 Analysis, Abschnitt „Stetigkeit und Zwischenwertsatz“.