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Mathe · Geometrie

Zentrische Streckung und Strahlensätze

Eine Taschenlampe wirft den Schatten einer kleinen Figur groß an die Wand. Jeder Schattenpunkt liegt auf dem Lichtstrahl durch den passenden Punkt der Figur. So vergrößert die zentrische Streckung eine Figur von einem Punkt Z aus. Aus ihr folgen die Strahlensätze. Mit k = −1 erhältst du die Punktspiegelung aus der Spiegelwerkstatt.

So gehst du vor

  1. 1Wähle oben „Zentrische Streckung“ oder „Strahlensätze“.
  2. 2Ziehe die Ecken der Figur und das Streckzentrum Z. Stelle den Streckfaktor k mit dem Schieber ein.
  3. 3Lies ab, wie sich Längen und Flächeninhalt ändern. Probiere auch negative Werte und k = 0.
  4. 4Bei den Strahlensätzen ziehst du A, B und A′. Die Verhältnisse rechnen mit.

Teil

−6−4−22468101214−6−4−2246810xyA′B′C′ABCZ

Ziehe die Ecken und das Streckzentrum Z mit dem Finger. Gitter: 1 cm.

Streckfaktor k

2,0
Jeder Bildpunkt liegt auf dem Strahl von Z durch seinen Punkt und ist 2-mal so weit von Z entfernt. Die Figur wird vergrößert.
A(3 | 1) → A′(5 | 1)B(4 | 3) → B′(7 | 5)C(2 | 4) → C′(3 | 7)
OriginalBildBild : Original
ZA2 cm4 cm2
AB≈ 2,24 cm≈ 4,47 cm2
BC≈ 2,24 cm≈ 4,47 cm2
CA≈ 3,16 cm≈ 6,32 cm2
Umfang≈ 7,63 cm≈ 15,27 cm2
Fläche2,5 cm²10 cm²4
Längen: mal |k| = 2. Flächeninhalt: mal k2 = 4.

Im Skript ist der Streckfaktor zuerst positiv. Negative Werte stehen dort als Bemerkung: Das Bild liegt dann auf der Verlängerung des Strahls über Z hinaus.

Aufträge

  1. Am Anfang ist Z(1 | 1), A(3 | 1), B(4 | 3), C(2 | 4) und k = 2. Berechne die Bildpunkte zuerst selbst. Dann vergleiche.
  2. Stelle k = 3 ein. Wie ändern sich die Seiten, der Umfang und der Flächeninhalt? Und bei k = 0,5?
  3. Lege Z in den Ursprung und die Ecken auf A(1 | 1), B(3 | 1), C(1 | 2). Strecke mit k = −2. Wo liegen die Bildpunkte? Was passiert bei k = −1?
  4. Strahlensätze mit „Werte aus dem Skript“: SA = 4 cm, AA′ = 2 cm, SB = 5 cm, AB = 3 cm. Berechne x = BB′ und y = A′B′. Schau dir danach das Gegenbeispiel an: Warum ist AB2 nicht parallel zu A′B′?

Kapitel „Zentrische Streckung“ im Skript M15 Strahlensätze, dazu „Strahlensätze“ und „Kehrsatz und Gegenbeispiel“.