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Mathe · Daten und Zufall

Roulette und Blackjack: Wer gewinnt auf Dauer?

Hier wird nicht gespielt, sondern beobachtet: Der Rechner simuliert Tausende Runden Roulette und Blackjack. Einsätze zählen in Einheiten, die nichts wert sind. Die Frage ist, was auf Dauer im Mittel herauskommt, und die Antwort gibt der Erwartungswert des Gewinns X = Auszahlung − Einsatz.

So gehst du vor

  1. 1Wähle beim Roulette eine Wettart und rechne den Erwartungswert in der Tabelle nach.
  2. 2Simuliere 1, 100, 10 000 und 100 000 Runden und verfolge, wohin der Mittelwert je Runde läuft. Vergleiche eine riskante und eine sichere Wettart.
  3. 3Teste die Systeme an 2 000 simulierten Abenden: Ändert eines den Erwartungswert?
  4. 4Simuliere beim Blackjack verschiedene Strategien und lies ab, wie viel je Einheit Einsatz im Mittel verloren geht, mit Unsicherheit.
  5. 5Bearbeite die Aufträge am Ende; die Lösungen kommen erst auf Knopfdruck.

Zur Einordnung: Glücksspiel um Geld ist in Deutschland für Minderjährige verboten. Wer sich Sorgen um das eigene Spielverhalten oder das von anderen macht, findet kostenlose und anonyme Beratung, zum Beispiel beim Angebot „Check dein Spiel“ des Bundesinstituts für Öffentliche Gesundheit (früher BZgA).

Roulette: 37 Felder, viele Wettarten

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Europäisches Roulette: Die Kugel fällt mit gleicher Wahrscheinlichkeit 137 auf eine der Zahlen 0 bis 36. Kräftig: die Zahlen dieser Wette. Gerechnet wird ohne die Sonderregel „La Partage“ (halber Einsatz zurück bei 0).

Wettart (Einsatz 1 Einheit)

Alle roten Zahlen: 18 Zahlen, Auszahlung 1 : 1. Triffst du, bekommst du den Einsatz zurück und 1 Einheit dazu, also X = 1. Sonst ist der Einsatz weg, X = −1.
Gewinn x1−1
P(X = x)18371937
E(X) = 1 · 1837 + (−1) · 1937 = 18 − 1937 = −137 ≈ −0,027
σ ≈ 1,00 Einheiten

Alle Wettarten im Vergleich

WettartkAuszahlungE(X)σ
Eine Zahl135 : 1−1375,84
Zwei Zahlen217 : 1−1374,07
Querreihe311 : 1−1373,28
Viererblock48 : 1−1372,79
Sechserreihe65 : 1−1372,21
Dutzend122 : 1−1371,40
Rot181 : 1−1371,00
Warum immer −1 : 37?
Eine Wette auf k Zahlen zahlt (36k − 1) zu 1, so als hätte der Kessel nur 36 Felder. Die Null gehört zu keiner dieser Wetten: Sie ist der Vorteil der Spielbank. Auf Dauer bleiben von je 37 eingesetzten Einheiten im Mittel 36 bei den Spielern, eine bei der Bank. Der Erwartungswert ist bei allen Wettarten gleich, die Standardabweichung nicht: Die Wette auf eine Zahl ist riskant (σ ≈ 5,84), Rot ist sicher (σ ≈ 1,00).

Simulation: Rot, 1 bis 100 000 Runden

Runden n
0
Bilanz S
0 Einh.
Mittel je Runde
– Einh.
0246810−10−50510n S in Einheiten

Blau: Bilanz S (Summe aller Gewinne) nach n Runden. Gestrichelt: n · E(X), die erwartete Bilanz. Grau: Bereich, in dem die Bilanz in etwa 95 % aller Simulationen bleibt.

11025−2−1012n (log.)m in Einheiten

Blau: Mittelwert je Runde m = Sn, Rundenzahl logarithmisch. Gestrichelt: E(X) = −137, gepunktet: 0 (fair). Grau: E(X) ± 2σ√n, der Trichter, in dem der Mittelwert in etwa 95 % der Fälle liegt (Begründung in der Oberstufe).

Systeme: Lässt sich der Erwartungswert überlisten?

System

„Martingale“: 1 Einheit auf Rot. Nach jedem Verlust den Einsatz verdoppeln, nach einem Gewinn wieder mit 1 anfangen. Die Idee: Irgendwann kommt Rot, dann ist alles zurück und 1 Einheit dazu. Der Haken: das Tischlimit, der größte erlaubte Einsatz. Wäre der nächste Einsatz größer, ist die Folge verloren.

Tischlimit (größter Einsatz)

Runden je Abend

Rechnung für eine Verdopplungsfolge
Mit Tischlimit 100 sind die Einsätze 1, 2, 4, …, 64 erlaubt, das sind 7 Versuche. Alle 7 verloren hat man mit der Wahrscheinlichkeit (1937)7 ≈ 0,0094; dann sind 127 Einheiten weg. Sonst gewinnt man 1 Einheit. Erwartungswert je Folge:
0,9906 · 1 − 0,0094 · 127 ≈ −0,205
Im Mittel setzt man je Folge 7,59 Einheiten, und −0,205 = −7,5937: wieder −137 je eingesetzter Einheit.

Wähle ein System und tippe auf „2 000 Abende simulieren“. Dann erscheint hier, wie die Abende ausgegangen sind.

Der Spielerfehlschluss
Nach fünfmal Schwarz fühlt sich Rot „fällig“ an. Die Kugel hat aber kein Gedächtnis: Jede Drehung ist unabhängig von den vorigen, Rot kommt immer mit der Wahrscheinlichkeit 1837. Dass fünfmal Schwarz hintereinander vorher unwahrscheinlich ist (1837)5 ≈ 2,7 %, hilft nichts mehr, wenn es schon passiert ist. Das Gesetz der großen Zahlen gleicht nichts aus: Die Abweichungen werden nicht zurückgezahlt, sie fallen nur bei immer mehr Runden immer weniger ins Gewicht.

Blackjack: eine feste, vereinfachte Regelvariante

Ziel: näher an 21 als die Bank, ohne 21 zu überschreiten. Zahlkarten zählen ihren Wert, Bube, Dame, König 10, das Ass 11 oder 1. Spieler und Bank bekommen je zwei Karten, eine Karte der Bank liegt offen. So rechnet diese Seite:

  • Unendlich viele Kartenspiele: Jede Karte ist unabhängig, ein Zehnerwert kommt mit 413, jeder andere Wert mit 113.
  • Die Bank zieht bis 16 und bleibt ab 17 stehen, auch bei weicher 17.
  • Blackjack (Ass und Zehnerwert als erste zwei Karten) zahlt 3 : 2, also 1,5 Einheiten.
  • Hat die Bank Blackjack, ist die Runde sofort vorbei (bei eigenem Blackjack unentschieden).
  • Nur Ziehen oder Stehen: kein Verdoppeln, kein Teilen, keine Versicherung, kein Aufgeben.
  • Wer über 21 kommt (überkauft), verliert sofort, auch wenn sich die Bank danach überkaufen würde.

Blackjack zahlt

Bank bei weicher 17

Voreingestellt: 3 : 2, Bank bleibt bei 17 stehen. Die anderen Einstellungen zeigen, wie stark das Ergebnis von den Regeln abhängt.

Blackjack: Strategien simulieren

Strategie

Wie die Bank: ziehen bis 16, ab 17 stehen, ohne auf die offene Karte der Bank zu achten.
Runden
0
Mittel je Runde
– Einh.

Die Grundstrategie dieser Regelvariante

Deine Handoffene Karte der Bank
2345678910A
hart 12ZZSSSZZZZZ
hart 13SSSSSZZZZZ
hart 14SSSSSZZZZZ
hart 15SSSSSZZZZZ
hart 16SSSSSZZZZZ
hart 17SSSSSSSSSS
weich 17ZZZZZZZZZZ
weich 18SSSSSSSZZZ
weich 19SSSSSSSSSS

Z = ziehen, S = stehen. Nicht in der Tabelle: harte Summe bis 11 immer ziehen (man kann sich nicht überkaufen), ab 18 immer stehen; weich bis 16 immer ziehen, ab 20 immer stehen. „Weich“ heißt: Ein Ass zählt gerade als 11.

Woher die Tabelle kommt
Der Rechner hat sie für genau diese Regelvariante selbst hergeleitet: Für jede Hand und jede offene Karte der Bank berechnet er den Erwartungswert von „Stehen“ und von „Ziehen“ (mit allen möglichen weiteren Karten und ihren Wahrscheinlichkeiten) und nimmt das Bessere. Für die Voreinstellung stimmt das Ergebnis mit den Ziehen-und-Stehen-Regeln der veröffentlichten Grundstrategie überein. Der Grund für „Stehen bei 13 bis 16 gegen 2 bis 6“: Mit 2 bis 6 offen überkauft sich die Bank in 35 bis 42 % der Runden, mit 7 bis Ass nur in 17 bis 26 %. Dann lohnt es sich, das eigene Überkaufen nicht zu riskieren.
Ehrlich gesagt: Die Werte hängen von den Regeln ab
Die Zahlen auf dieser Seite gelten nur für die Variante oben. An echten Tischen gibt es mehrere Kartenspiele im Schuh, Verdoppeln und Teilen; mit der vollständigen Grundstrategie und 3 : 2 für Blackjack liegt der Nachteil dann je nach Regeln meist unter 1 % des Einsatzes. Zahlt Blackjack nur 6 : 5, wird er deutlich größer (probiere es oben aus). Eines bleibt bei allen üblichen Varianten gleich: Der Erwartungswert für den Spieler ist negativ.

Aufträge

  1. Berechne den Erwartungswert des Gewinns X für die Wette auf eine Zahl (Auszahlung 35 : 1). Wie viel bleibt von 1 000 eingesetzten Einheiten im Mittel übrig?
  2. Eine Wette auf k Zahlen zahlt (36k − 1) zu 1. Zeige, dass der Erwartungswert für jedes k gleich −137 ist.
  3. Ein Spiel heißt fair, wenn E(X) = 0 ist. Welche Auszahlung bei einer Zahl wäre fair? Und was würde sich ändern, wenn es die Null nicht gäbe?
  4. Vergleiche „Eine Zahl“ und „Rot“: Simuliere je 1 000 Runden, mehrmals von vorn. Was ist gleich, was verschieden? Ab wie vielen Runden liegt der Mittelwert fast sicher unter 0?
  5. Verdoppeln mit Tischlimit 100: Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht eine Folge verloren, und wie groß ist der Erwartungswert je Folge? Warum gewinnt man trotzdem an vielen Abenden?
  6. Fünfmal hintereinander kam Schwarz. Wie wahrscheinlich ist jetzt Rot? Vergleiche mit der Simulation „Rot nach fünfmal Schwarz“.
  7. Blackjack: Wer „wie die Bank“ spielt, hat dieselben Regeln wie die Bank. Warum verliert man trotzdem im Mittel etwa 5,7 % des Einsatzes?
  8. Simuliere die Grundstrategie mit 100 000 Runden. Kann man mit ihr auf Dauer gewinnen? Wie viele Einheiten verliert man bei 1 000 Runden zu je 1 Einheit im Mittel?

Theorie: Abschnitte „Zufallsgrößen und Erwartungswert“ und „Erwartungswert und Standardabweichung“ im Skript M22 Binomialverteilung. Dazu passend: Zufallsmaschine (Gesetz der großen Zahlen) und für die Oberstufe Erwartungswert und Varianz.

Üben in minærva noctua

Fragen und Aufgaben zu den passenden Abschnitten im Skript:

Mathe · M22 ↗

Kursstufe, Mathe-LK · ML3 Stochastik ↗